Introducción al Lenguaje R

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# Introducción al Lenguaje R
]
.subtitle[
## 3. Modelos Lineales Múltiples
]
.author[
### Santiago Benitez-Vieyra
]

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class: center, middle

## Regresión lineal múltiple e interacciones

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### Modelos de múltiples variables independientes

- La interpretación de los parámetros se complica, particularmente si
existen interacciones.   
- Existen distintas maneras de incorporar las variables al modelo, en
particular ¿las variables independientes tiene un efecto secuencial o
simultáneo?   
- Existen nuevos problemas para el buen ajuste del modelo,
especialmente la colinearidad.   
- ¿Cómo elijo el mejor modelo para mis datos? ¿debo predecir o
explicar un patrón?

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### Notación

**Representación** | **Modelo**
--- | --- 
`Y ~ 1` | regresión por el origen, modelo sin efecto
`Y ~ A` | regresión lineal simple y ANOVA
`Y ~ A - 1` | regresión con intercepto en cero
`Y ~ A + B` | modelo lineal múltiple sin interacción
`Y ~ A*B` | modelo lineal múltiple con interacción
`Y ~ A + B + A:B` | idem anterior
`Y ~ (A + B + C)^2` | modelo con todas las interacciones de grado 2
`Y ~ A + B + C + A:B + A:C + B:C` | idem anterior
`Y ~ A/B` | modelo con B anidado en A
`Y ~ A + B%in%A`| idem anterior
`Y ~ A + I(A^2)` | modelo con efecto no lineal

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### Relaciones

`$$Y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1}X_{1i} + \beta_{2}X_{2i} + \beta_{3}X_{3i} +\epsilon_{i}$$`

![](data:image/png;base64,#efectos.png)

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### interpretación

- El **intercepto** (`$\beta_{0}$`) se interpreta como el valor de la variable dependiente (y) cuando todas las variables independientes (`$x$`) toman un valor de 0.  
- El **coeficiente regresión parcial** (`$\beta_{1}$`) es la pendiente de `$y$` en `$x_{1}$`, mide el cambio en y por cada unidad de cambio en `$x_{1}$`, manteniendo los valores de las demás `$x$` (`$x_{2}$`, `$x_{3}$`, etc.) constantes.   
- `$\beta_{1}$` mide los efectos directos de `$x_{1}$` sobre `$y$`, descontando los efectos indirectos debidos a la correlación entre `$x_{1}$` y las otras variables `$x$` incluidas en el modelo.   
- Los coeficientes parciales pueden contener efectos indirectos de variables no
incluidas en el modelo.  
- El `$R^2$` no aumenta linealmente porque solo incluye la variación debida a los
efectos directos.

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### Interacciones

![](data:image/png;base64,#superficies.png)

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### Sumas de Cuadrados. Tipo 1.

|          | Df| Sum Sq| Mean Sq| F value| Pr(>F)|
|:---------|--:|------:|-------:|-------:|------:|
|a         |  1| 17.986|  17.986|  20.483|  0.000|
|b         |  1|  7.577|   7.577|   8.629|  0.004|
|a:b       |  1| 21.291|  21.291|  24.247|  0.000|
|Residuals | 96| 84.296|   0.878|      NA|     NA|

| Suma de Cuadrados | Descripción | A favor | En contra |
| ---- | ------ | ------ | ------ |
| Tipo I | Las variables son añadidas una a una, en el orden indicado en la fórmula. | No subestima la suma de cuadrados total. Preferible en modelos anidados donde hay un orden natural. | Distinto orden de los factores produce distintos resultados. |

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### Sumas de Cuadrados. Tipo 2.

|          | Sum Sq| Df| F value| Pr(>F)|
|:---------|------:|--:|-------:|------:|
|a         |  1.750|  1|   1.993|  0.161|
|b         |  7.577|  1|   8.629|  0.004|
|a:b       | 21.291|  1|  24.247|  0.000|
|Residuals | 84.296| 96|      NA|     NA|

| Suma de Cuadrados | Descripción | A favor | En contra |
| --- | --- | --- | --- |
| Tipo II | Cada término es testeado después de introducir todos los otros, excepto las interacciones | Modelo muy usado, especialmente cuando no hay interacciones. El orden no importa. | Es sensible al desbalanceo. |

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### Sumas de Cuadrados. Tipo 3.

|            | Sum Sq| Df| F value| Pr(>F)|
|:-----------|------:|--:|-------:|------:|
|(Intercept) |  0.053|  1|   0.060|  0.807|
|a           |  0.519|  1|   0.591|  0.444|
|b           | 11.072|  1|  12.609|  0.001|
|a:b         | 21.291|  1|  24.247|  0.000|
|Residuals   | 84.296| 96|      NA|     NA|

| Suma de Cuadrados | Descripción | A favor | En contra |
| --- | --- | --- | --- |
| Tipo III | Cada término es testeado después de introducir todos los otros, incluso las interacciones. | No depende del tamaño de las celdas, útil en caso de desbalanceo. | Da la misma importancia a los efectos principales y a las interacciones. |

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### Interacciones en el ANOVA

_model = lm(fat ~ age*breed)_

|          |  Sum Sq|  Df| F value| Pr(>F)|
|:---------|-------:|---:|-------:|------:|
|age       |  77.764|   1|  24.417|  0.000|
|breed     |  45.652|   1|  14.334|  0.000|
|age:breed |  34.363|   1|  10.790|  0.001|
|Residuals | 624.224| 196|      NA|     NA|

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### Interacciones en el ANOVA

_model = lm(fat ~ age*breed)_

|                     | Estimate| Std. Error| t value| Pr(>&#124;t&#124;)|
|:--------------------|--------:|----------:|-------:|------------------:|
|(Intercept)          |   8.0627|     0.2524| 31.9463|             0.0000|
|ageyoung             |   2.0761|     0.3569|  5.8168|             0.0000|
|breedjersey          |   1.7845|     0.3569|  4.9998|             0.0000|
|ageyoung:breedjersey |  -1.6580|     0.5048| -3.2848|             0.0012|

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### Interacciones en el ANOVA

![](data:image/png;base64,#teor03_files/figure-html/unnamed-chunk-6-1.png)

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